本記事では統計検定１級のバイブル書『現代数理統計学の基礎（共立講座 数学の魅力 11）』の第２章にある例題と演習問題の解説を行なっていきます。
この第２章から８章までが統計検定１級の統計数理の実質的な範囲になりますよね！
第２章では第１章と比べると例題と演習問題の難易度のギャップが大きいです。
演習問題を行う際には次の３点に注意してください。
①問６と問７の期待値に関する難問が基本となって後の問題の解法につながる流れである。
②積率母関数を微分していく問題などでマクローリン展開を頻繁に行うことがある。
③代入計算ができない場合は極限計算で対処する（ロピタルの定理を高確率で用いる。）
第１章を未学習の方はこちらからよろしくお願いします！
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現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.１
現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.５
確率関数はp.m.f.と表します。
現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.７
現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.１０
現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.１１
確率密度関数はp.d.f.で表します。
現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.１２
現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.１５
現代数理統計学の基礎『第２章』例題2.２２
現代数理統計学の基礎『第２章』問１
現代数理統計学の基礎『第２章』問２
分布関数であることを示すには次の３つを言います。
①単調増加
②右側（無限大）に飛ばすと１に収束
③左側（マイナス無限大）に飛ばすと０に収束
現代数理統計学の基礎『第２章』問３
現代数理統計学の基礎『第２章』問４
統計検定準１級の公式本『日本統計学会公式認定 統計検定準1級対応 統計学実践ワークブック』でも解説されている分解法ですね！
平均２乗誤差（MSE）関連の内容として解説されていましたね！
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現代数理統計学の基礎『第２章』問５
現代数理統計学の基礎『第２章』問６
次の問７と合わせて第２章の中核をなす問題です。
kをシグマで表現するところがものすごく技巧的ですね！笑
現代数理統計学の基礎『第２章』問７
（１）の最後の下から２行目の式の中括弧の中の式が間違っているので証明すべき方の式にご訂正ください。－∞の処理で計算ミスをしています。
この問題は問６の連続バージョンです。
この問題もxを積分で表すところがテクニカルすぎます！笑
現代数理統計学の基礎『第２章』問８
確率密度関数は常にf(x)と表示されるわけではないことに注意を払う良問です。
現代数理統計学の基礎『第２章』問９
比較がポイントです！統計検定３級などでも類題がある典型問題です！
現代数理統計学の基礎『第２章』問１０
現代数理統計学の基礎『第２章』問１１
階乗モーメントは確率母関数と相性抜群です！
現代数理統計学の基礎『第２章』問１２
マクローリン展開を用いることにより項別微分に持ち込むテクニックです！
現代数理統計学の基礎『第２章』問１３
現代数理統計学の基礎『第２章』問１４
１対１でない場合は分布関数から求める方法が無難です。
微分を経由する方法が早いだけにもどかしい気持ちになりますね笑
現代数理統計学の基礎『第２章』問１５
グラフを書いて１対１に対応している部分としていない部分に分けることが大事です！
本問はアクチュアリー数学の有名参考書『弱点克服 大学生の確率・統計』に詳しい記述があります。
早速チェックしてみます！
ポチップ
現代数理統計学の基礎『第２章』問１６
本問は問６や問７の理解がベースとなっている難問です。
現代数理統計学の基礎『第２章』問１７
現代数理統計学の基礎『第２章』問１８
以上になります！次の第３章ではいよいよ様々な確率分布が登場する回になります。
第２章はとにかく期待値関連のトリッキーな問題が目立ちましたね。次回も楽しみにしています！
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