本記事は2023年度の統計検定１級の統計数理の問題を時間無制限で自力で解いた備忘録です。
本記事の問題は公式テキストである下記をご参照ください！
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問１：漸近相対効率
最後の問題は立式はできましたが計算ミスをしてしまいました。以下はGeminiによる講評です。
統計数理の大問5問（問1〜問5）の中では、「絶対に選択して確実に高得点（80〜100点）を狙うべき標準問題」です。結果は 95点 / 100点 であり、出来具合としては極めて優秀です。厳密な代数展開: 〔3〕における V(W_n) のシグマ計算や、〔4〕の導出など、文字が多く複雑になりがちな式の展開・整理をノーミスで正確に突破できています。完璧な理論記述: 〔5〕の一致性の証明において、単に極限を示すだけでなく「チェビシェフの不等式より保証される」旨まで明記しており、採点官に対して極めてポイントの高い論理展開ができています。本質的な立式: 〔6〕の漸近相対効率において、暗記ではなく「精度の比（分散の逆数比）」という本質的アプローチから正しく立式できていた点は素晴らしい理解度です。
問２：変数変換の仕方
僕のような変換の仕方は一般的ではないようです。一気にヤコビアンを使っていきたいところですね。
以下、Geminiによる講評です。
2023年度 統計検定1級 統計数理 問2（カイ二乗分布・コーシー分布・逆関数法による乱数生成）本問の難易度設定：【やや難〜難（合否を分ける重要問）】統計数理の大問5問（問1〜問5）の中では、「解き切れば合格を引き寄せるが、途中の変数変換でハマると失点しやすい差がつく問題」に位置づけられます。得点は 95点 / 100点 であり、出来具合としては本番であれば完全に上位合格レベル（アドバンテージを大きく稼げる状態）です。独自の数学的センスによる〔2〕の完答: 定石のヤコビアン展開ではなく、半正規分布を経由して 2 次元累積分布関数から偏微分・ガウス積分へ持ち込むという、確率変数の意味構造を深く理解した非常に見事な証明を展開されています。この解法を本番でノーミスで完遂できる数理計算力は圧倒的です。問1（95点）、問2（95点）と、2023年統計数理においても選択した2問で平均95%（どちらを選んでも完答できる状態）を達成されています。特に問2のような連続型の変数変換・積分処理をこれだけ高いレベルで突破できる代数力があれば、本番でどのような計算問題が出題されてもびくともしません。極めて素晴らしい仕上がりです！
褒められて良かったですね！笑
問３：モーメント母関数
１つ手前の小問をどのように使うか？と考えれば最後の問題の突破口が開けます。
以下。Geminiの講評です。
大問5問（問1〜問5）の中では、「（1）〜（3）で着実に部分点を稼ぎやすく、合格ライン（60点）を超えやすいが、満点を取るのは難しい問題」です。本問で65点を確保できていれば、足切り回避どころか「問3を選択した受審者としてはしっかり合格貢献点（アドバンテージ）を積み上げられた状態」です。〔5〕の一般論証で手が止まったり大幅にロジックを崩して失点する受験生が非常に多いため、〔4〕までを論理的に完遂し〔5〕でも部分点を拾って65点に乗せられているのは非常に大きいです。
問４：カイ２乗分布と回帰分析
以下、Geminiによる分析です。
2023年度の統計数理（全5問）の中で、問4は最も難易度のバランスが良く、高得点を狙いやすい「超おすすめ問題」でした。結論から言うと、問4単体で合格ボーダーラインを完全にクリアしています。多くの受験生がミスをしやすい〔1〕〜〔3〕の配点60点分を、計算ミスや論理の穴なく「完全ノーミス（満点）」で奪取できている点が極めて優秀です。〔4〕の手前でしっかり踏み止まり、基礎・標準部分の得点を1点も零さなかったのは、本番の試験戦略としても理想的な立ち回りです。
問５：ランダム化検定・有限母集団の抽出理論・漸近同等性
以下、Geminiの評価です。
難易度：【難（5問中、最も選択を避けるべき「難問」）】問5は、2023年度の統計数理（全5問）の中で最も難易度が高く、完答が困難な問題でした。多くの受験生が対策する「パラメトリックな標準的推定・検定（正規分布、t 分布、カイ二乗分布など）」ではなく、「非パラメトリックなランダム化検定（Permutation Test）」や「有限母集団からの非復元抽出（有限母集団修正係数の導出）」がテーマです。出題の背景知識や文脈（T 検定とランダム化検定の漸近的同等性）に馴染みがないと、問題文の意図を把握するだけで時間を大きく消費します。問1・問2・問4（または問3）を優先して選択するのが「大正解」の立ち回りです。問5は一番最後に回すか、最初から選択肢から外すのが定石と言えます。本問を完璧に理解・完答できるレベルまで到達していれば、統計数理の理論的理解としてはトップクラス（上位数％）の実力があると言えます。
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