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現代数理統計学の基礎の第7章『統計的仮説検定』の例題と問の解答

2024年5月23日

現代数理統計学の基礎』の第7章の解説を行います。

とても重たい問題が多い章でしたね!

そうですね!第7章は例題よりも章末問題の方が圧倒的に難易度が高くなっています。1問解くのに半日〜1日かかった問題もありました笑

本章は検定を扱います。主に尤度比検定がメインです。今までに学習した推定の内容なども多くの内容を含んでいるため、総合的な章となります

尤度比検定とワルド検定とスコア検定はこの章で何回か登場しますので、先に求め方を書いておきます。

尤度比検定→尤度比統計量の対数を先にとった方が計算が煩雑にならない
ワルド検定→推定量の分布を考えるので推定量のフィッシャー情報量を考えることになる。
スコア検定→帰無仮説のパラメータにおけるスコア関数から検定統計量を作成する。

統計検定1級の出題範囲であるワルド検定やスコア検定まで解説されている参考書は有名どころだと『現代数理統計学の基礎』のみになります。統計検定1級の対策書として双璧をなす『現代数理統計学』にも掲載されておりませんので、僕は下記の参考書をおすすめしています!

著:久保川達也, 著:新井仁之, 著:小林俊行, 著:斎藤毅, 著:吉田朋広

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.2

標本空間

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.3

有意水準α

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.6

尤度関数のL内の表記は(,)でも良いみたいです。

尤度比統計量

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.7

近似的な棄却域

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.9

ワルド検定とスコア検定

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.11

カイ2乗検定

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.12

独立性の検定

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.19

一様最強力検定

現代数理統計学の基礎『第7章』例題7.23

下から3行目の式の小文字は与えられている数値で、大文字は変数を表しています。

P値

この問題はP値は有意水準を超えることはないことを示す問題です。

なるほど!だから有意水準は検定を開始する前段階で決めておくべきなのですね!

現代数理統計学の基礎『第7章』問1

例題と比べて難易度が一気に上がります。2周、3周と行って理解を深めていきましょう!

尤度比検定・ワルド検定・スコア検定

現代数理統計学の基礎『第7章』問2

帰無仮説が複合仮説の場合の有意水準αの検定の棄却域の求め方

現代数理統計学の基礎『第7章』問3

難問です。そのため小問を3つに分けて解説します。

尤度比検定
ワルド検定・スコア検定

2変量のフィッシャー情報量行列の出し方も1変数の時と同じ。
制限がない場合の推定量の漸近分布は自由度が2のカイ2乗分布に従う(下から5行目)

尤度比検定

現代数理統計学の基礎『第7章』問4

検出力関数

現代数理統計学の基礎『第7章』問5

尤度比検定・ワルド検定・スコア検定

現代数理統計学の基礎『第7章』問6

計算量が多い難問です。落ち着いて対処しましょう!

F統計量との関係

現代数理統計学の基礎『第7章』問7

ベータ分布との関係

現代数理統計学の基礎『第7章』問8

(1)の十分統計量の並び順は関係ありません。αとβという2変数に対して2変数の十分統計量の結果があるだけです。

十分統計量についての注意点

現代数理統計学の基礎『第7章』問9

一様最強力検定

以上になります。計算がかなり大変でした。

次回の第8章でいよいよ最後ですね!統計検定1級を受験する方は、『現代数理統計学の基礎』を一緒に頑張りましょう!

著:久保川達也, 著:新井仁之, 著:小林俊行, 著:斎藤毅, 著:吉田朋広
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志田龍太郎

東大修士→30代セミFIRE元数学教諭(麻布高など指導)/アクチュアリー数学,統計検定1級(2024年に再挑戦)/数検1級→高3・漢検1級→教諭時代に合格/ブログ+SNS運営/体脂肪率1桁目指しています/AmazonAssociates連携

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