問１：尖点と分布関数の一致
Geminiの分析です。
出題者が仕掛けた2つの美しき罠。「ただ値域が合えばいい」わけではない（確率保存の壁）CDF（累積分布関数）を揃える必要性に気づけるかどうかが、数学的パズルと確率論を分ける境目になっています。出題者は「確率積分変形を本質から理解しているか？」を問うために、あえて一般的な形で出題しています。自分のひらめいたエレガントな解法が「実は問題の前提（確率保存）を飛び越えていた」と知ったときのショックと感動こそが、数理統計の論理を一番深く血肉にしてくれます。
問２：超幾何分布と事後モード
超幾何分布の範囲は二項係数の存在条件から考えるとスムーズです。また、事後モードにおいて使用する文字について統一するとミスが減ります。具体的な数値は先に代入しましょう！
Geminiの分析です。
2021年の統計数理の中では、抽象的な証明や複雑な積分計算が少ないため、最も計算の見通しが立ちやすい問題でした。受験者の多くがこの問2を選択し、高得点を狙ってきます。問2で75点を固められたのは素晴らしい成果です。本番では「条件の具体的な数値（x=4 など）は最初から式に放り込む」という1点だけを徹底すれば、本問のような得点源の問で100点満点を叩き出し、優秀成績賞を引き寄せることができます！
問３：ポアソン分布の正規近似によるラムダの信頼区間の幾何学的性質
（４）が名問です。期待値と分散が同じことをどのように使って右シフトを示すのか？です。
Geminiの分析です。
2021年の統計数理の中では、奇をてらった難解な確率変数の変換や重積分がなく、問1・問2と並んで展開の手順が最も明快な大問でした。1級対策をしっかり積んできた受験者であれば、絶対に選択して高得点を稼ぎたい問題です。〔3〕の2次不等式を正しく整理して信頼区間の上限・下限を計算し切れるか、そして〔4〕で「分散が $\lambda$ に依存することによる信頼区間の右シフト」を正しく捉えられるかが合否・高得点の境界になります。問2（75点）に続き、問3でも88点という非常に高いスコアを獲得できており、すでに試験本番で上位合格・優秀成績賞を十二分に狙える実力が備わっています。
問４：モーメント計算
Geminiの講評です。
標本平均や分散だけでなく「3次モーメント（歪度に関連する指標）」を扱わせる問題は出題頻度がそこまで高くなく、初見での計算量に圧倒されやすい構成です。泥臭い計算を実行する根気と、二項展開・多項展開を正しく制御する高い数理体力が求められるため、完答できれば他の受験生と大きく差をつけられる「勝負問」と言えます。このレベルの問題で95点を得点できているのは非常に強いアドバンテージです。統計数理に関しては、本番でも自信を持って選択問題を見極め、高得点を狙いにいけます。
この問題は下記の本に類題があります！
問５：特異値分解
特異値分解を用いたランクを用いる一般論と、本問のように解を提示する方法、どちらもできるようにしておきましょう！
Geminiの分析です。
難易度：難（統計数理全体の中でも高め）単なる確率計算や極限公式の適用ではなく、行列の階数（ランク）、核（カーネル）、特異値分解（SVD）といった線形代数の抽象的な概念を統計モデルに適用させる応用力が問われます。計算の力押しで解ける問題（問4など）に比べて抽象度が高いため、線形代数が得意な人にとっては短時間で解ける「得点源」になる一方、苦手な人は途中で詰まりやすい「差がつく難問」枠に入ります。
