数理統計学（黒木学）の第７章「近似法則」の解説と解答

統計検定１級の統計数理対策として、久保川先生の白本と青本を勉強してきました。

統計検定１級のバイブル『現代数理統計学の基礎』８章分の解答をすべて解説

統計検定１級に合格した方がほぼ確実に持っている参考書をご存知ですか？それは久保川先生の『現代数理統計学の基礎』です。本書は次の２つの点から非常に有用な参考書として注目されています。 体系立った解説高品 ...

データ解析のための数理統計入門を統計検定１級対策として全章の行間を埋めました

本記事は統計検定１級対策として2025年の１級試験の前日時点で最適の『データ解析のための数理統計入門』を全章の行間を埋めた記事になります。各記事は後述のリンク先から飛べますのでご覧ください。 本書の詳 ...

しかし近年の統計検定１級では初見色が強い問題傾向が見られます。そのため合格者の方々から支持がある黒木先生の『数理統計学』をしっかりと学んでいきたいと思います。

数理統計学（黒木学）の第６章「代表的な連続確率分布」の解説と解答

統計検定１級の統計数理対策として、久保川先生の白本と青本を勉強してきました。 https://www.muscle-castle.com/foundation-of-modern-mathematic ...

反転公式

例7.1：関数列の積率母関数の極限と収束列の積率母関数が一致しない例

収束概念

確率変数列がaに平均p乗収束するならば確率収束します。しかし逆は偽です。

例7.2：確率収束するが平均p乗収束しない例

例7.3：分布収束と漸近分布

確率不等式

証明は前述で一般的な証明を行っています！

連続写像定理

本記事の山場です。類書では詳しい証明がないため多くの方にとって初証明になると思われます。

この証明の大まかな流れは最後の式を挟み撃ちの式と考えた際に、初めに小さなεをとって固定してnを無限にしたときに主張が成立しますよということです。εは任意なので実質的には最後にεを+0なる極限操作をしていることになります。続きの命題の証明は演習問題で解いています。

大数の法則と中心極限定理

この証明では初めから各々のXを期待値０で分散１の分布としていますが、これは以下のように結局、一番内部の（　）の新しい確率分布を考えることになるためで、この分布の期待値が０で分散が１なのです。

もしくは以下の段階で気付けるかも知れませんね。

要するに剰余項が０に飛ぶことを示すことが目標になります。これは演習問題の１番で登場する複素積分にも通じる考え方です。

上のデルタ法で正規分布の条件を除いた定理が次になります。

演習問題

問題7.1：反転公式

長方形の積分路の設定が必要です。このレベルですと次のレベルの書籍が演習に最適です。

問題7.2：スラツキーの定理などの証明

続いて確率収束の問題です。標本点ωについては以前の証明と同じ定義を用いています。

問題7.3：漸近分散

問題7.4：積率母関数の期待値評価