統計検定１級の統計数理対策として、久保川先生の白本と青本を勉強してきました。
しかし近年の統計検定１級では初見色が強い問題傾向が見られます。そのため合格者の方々から支持がある黒木先生の『数理統計学』をしっかりと学んでいきたいと思います。
期待値と分散に関する基本公式
標準化のことを基準化ともいいます。
相関係数
例えば相関係数が１または−１であっても、それはXとYが正または負の線形従属関係であること以外は何も分かりません。例えばXの平均が０で分散が有限値のときにY＝10XでもY=0.1Xでも相関係数は１です。
確率変数の変数変換
例4.2：２変量正規分布とコーシー分布
積率母関数と特性関数
特性関数は必ず存在します。
マクローリン級数は常に存在するとは限りませんが、存在する場合は収束半径内においてg(x)と一致します。次に積率母関数がマクローリン級数の形で定義できるか？そしてなぜ微分してt＝０を代入するだけでモーメントが求まるのかを考えます。
つまり積率母関数が存在してn回微分可能ならばn次の積率が存在します。
| 交換する演算 | 対象が「有限」または「べき級数」 | 対象が「無限（∞）」または「一般の関数」 |
| Σと積分、微分 | 収束半径の内側であれば無条件でOK | 一様収束 するかどうかが条件 |
| 極限や微分と積分 | 区間が有限かつ連続ならOK | 暴走を防ぐ 「天井関数（優関数）」 が作れるかが条件 |
例4.3：任意次数の積率が存在するといって積率母関数が存在するとは限らない
積率母関数の最大の強みは、「積率母関数の形が同じなら、元の確率分布も同じである（一意性）」という性質にあります。 しかし、 X^4 のように積率母関数が作れない分布に対しては、「すべての次数のモーメントが完全に一致しているのに、全く異なる確率分布」という奇妙な双子（反例）を作ることができてしまうのです。
確率母関数
演習問題
問題4.1：ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式
ｆが凸関数ならば、ｆ（何かの作業）＜何かの作業（をｆ込みでする）のイメージです。
問4.２:変数変換
数学検定１級１次の類題です。
問4.3：主成分分析関連
