統計検定１級の統計数理対策として、久保川先生の白本と青本を勉強してきました。
しかし近年の統計検定１級では初見色が強い問題傾向が見られます。そのため合格者の方々から支持がある黒木先生の『数理統計学』をしっかりと学んでいきたいと思います。
累積分布関数
ここら辺の測度関連の話題は統計検定１級にはおそらく出ないと思われるので少し飛ばします。
例3.1：確率変数の例
累積分布関数の定義によりF_X(x)は右連続の非負実数値関数です。
離散型確率変数・連続型確率変数
定理3.1はしっぽ定理の連続版ですが、久保川先生の青本『データ解析のための数理統計入門』では結果の形から２乗積分していますので、結果の公式を覚えていないと再現できないことがネックです。黒木先生のこの書籍では期待値の定義式から証明を開始しているので汎用性が高いです。
確率変数ベクトル
またXの分散を求める式も２変数の同時分布という観点で考えると重積分となることに注意です。
同時確率密度関数の逐次的因数分解は次の通りです。
g(Y)=Yと置くとき条件付き平均といいます。
偏相関係数の式は下記のような記号を用いると覚えやすいです。
確率変数の独立性
この式はどちらかが成り立てばもう片方は自動的に成立します。
例3.3：無相関でも独立でない例
この意味においてXとYが独立ならば事象Aと事象Bも独立です。しかしある特定の事象Aと事象Bが独立であるからといってXとYも独立とは限りません。ただしコインの裏表（2値）のようなシンプルな変数同士であれば、たまたま独立なんていう器用なことは起きず、一部分が独立なら全体も絶対に独立になります。
この式の意味が難しいのでイメージを教えてください
正直これでも難しいので僕は次のようにして理解しています
この式の分母を払った式を解釈すると、Zを与えたときのXとYの同時分布は、（Zを与えたときのXの分布）×（ZとXを与えたときのYの分布）です。与えたという言葉は既知という言葉に置き換えた方がわかりやすいかもしれません。
以前勉強した同時確率密度関数の逐次的因数分解ですね！
例3.5：条件付き独立であることと周辺独立であることは必要条件でも十分条件でもない
順序統計量
第1,…,n順序統計量は独立ではありません。
第i順序統計量の確率密度関数は次のように求めます。
例3.6：標準一様分布の順序統計量
最後にこちらの内容も統計検定１級にて大事ですのでおさえておきたいところです。
演習問題
問題3.1：因数分解定理
問題3.2：メディアンと期待値
問題3.3：カルバック・ライブラー情報量
問題3.4：最大値と最小値が従う確率密度関数
