統計検定１級の統計数理対策として、久保川先生の白本と青本を勉強してきました。
しかし近年の統計検定１級では初見色が強い問題傾向が見られます。そのため合格者の方々から支持がある黒木先生の『数理統計学』をしっかりと学んでいきたいと思います。
一様分布
本書では区間[a,b]上の一様分布をU(a,b)で表現します。下記のように一様分布は至る所に出現します。
その性質を用いて逆関数法つまり疑似乱数を生成できます。
一様分布には再生性がありません
結果が三角分布になると知っている場合、横軸をzとする確率密度関数を考えたいので、まずzが取りうる値は０から２なので底辺が２です。全確率は１なので確率密度とz軸とで囲まれる面積は１です。それにより高さが１と出ます。分布は対称になることから三角分布が特定できます。
また分布関数の考えを使うと基本的な公式である以下の内容も暗記に頼らずに導出することが可能です。
正規分布
確率密度関数と積率
分布関数との関係性は気づけるようにした方が良いですね。
多次元正規分布
２次元正規分布において、XとYが無相関でない限り、Yの平均はXがとる値に依存しますが、Yの分散はXがとる値には依存しません。
例6.3：ボックス・ミュラー法
この方法は一様乱数を２つ用意するだけで正規乱数を２つ同時に手に入れることができる素晴らしい手法です。
ガンマ分布
確率密度関数と積率
k次の積率が存在する条件はk>-αです。これは結果に登場するガンマ関数の定義域が正という条件から出てきます。
カイ２乗分布と正規分布の関係
この定理の別証明をコクランの定理を用いて取り込んでみます。
指数分布
ベータ分布
Beta(1,1)=U(0,1)です。
著者の黒木先生は、U,V=X+Yとおいて変数変換を行っておりますが、最後はUとVの同時分布の式を導出したときに、U,Vの密度関数を綺麗に分けて、Uの部分を抜き出しています。これはVがガンマ分布に従うことを見越した証明です。僕はUの意味を知りたくて別証を考えた後に次のようなツイートをしました。
F分布
F分布もt分布の期待値や分散も下記のように考えれば、カイ２乗分布のモーメントの演算に帰着されます。
t分布
自由度∞のt分布が標準正規分布となることを示したいのでスターリングの公式を示します。黒木先生の『数理統計学』ではかなりユニークな証明方法です。試験中に再現しやすいストレートな方法だと思いました。
それでは自由度が∞のt分布が標準正規分布であることを示します。
演習問題
問題6.1：コーシー分布
コーシー分布が期待値を持たないことを示す。
問題6.2：一様乱数
問題6.3：多変量正規分布とブロック行列
本問を一般化した内容は統計検定１級にて大事になりますので整理します。
問題6.4：F分布とベータ分布の関係
