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【アクチュアリー数学】確率範囲の指定参考書『国沢確率』第6章「大数の法則と中心極限定理」の勉強法

大数の法則と中心極限定理のイメージ画像

アクチュアリー数学の確率分野の指定教材『確率統計演習 1 確率』は統計検定1級にも通用する有用な参考書です。

今回はアクチュアリー数学の試験範囲である第6章に登場する問題の解説を行います。

以前の章の問題で出てきた設定をそのまま用いる問題も多くなることから、各章のリンクを載せておきますね。

第1章:事象と確率
第2章:確率変数と分布
第3章:平均値、分散
第4章:変数変換と和の分布
第5章:積率と積率母関数
第6章:大数の法則と中心極限定理

『国沢確率』第6章「大数の法則と中心極限定理」の例題

今回の例題は全部で4問しかありませんが第1問から難問です。

積率母関数

eのマクローリン展開の中にランダウの記号を入れるのがコツです。

チェビシェフの不等式

確率収束とチェビシェフの不等式は相性が良いです。

スターリングの公式
積率母関数

以上で例題を終了します。積率母関数の形でまずは置いてしまうのが鉄則ですね。

『国沢確率』第6章「大数の法則と中心極限定理」の問題

特性関数
チェビシェフ不等式
標本分散

大事な問題ですが証明はテクニカルに見えますが事象で考えてから確率を考えていく王道の証明法となっています。

標本共分散
チェビシェフの不等式
中心極限定理
特性関数
中心極限定理
ベルヌーイ試行
中心極限定理
ポアソン分布
中心極限定理
丸め誤差

アクチュアリー数学で出題されています。

mとM記号に注意

この問題から最後の問題までマルコフ連鎖の難問が続きます。

確率統計演習 1 確率』に登場する各章の問題のラスト付近はほぼ全てマルコフ連鎖に関する問題でしたね。

マルコフ連鎖

極限分布の定義は覚えておいた方が良いですね。

正則

正則という言葉が登場しましたね!

解の一意性
マルコフ連鎖

確率統計演習 1 確率』の第6章の例題と問題は以上となります。

確率統計演習 1 確率』もついに全部解き終わりましたね!

やはり本書の特徴としてマルコフ連鎖を少しずつ深めていく形式が採られていることが挙げられると感じます。アクチュアリー数学ではマルコフ連鎖は本書に登場した問題の中では本番で未出の問題も多々ありますので、演習する価値は十分にあります。ただし本番をよりも難しい難問が目立つので、ご自身で吟味してみてください。

最後に復習用として『確率統計演習 1 確率』の第1章〜第6章までの記事をまとめておきますのでご活用ください!

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志田龍太郎

東大修士→30代セミFIRE元数学教諭(麻布高など指導)/アクチュアリー数学,統計検定1級(2024年に再挑戦)/数検1級→高3・漢検1級→教諭時代に合格/ブログ+SNS運営/体脂肪率1桁目指しています/AmazonAssociates連携

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