この記事では2016年の統計検定１級の統計数理の問題を自力で解いた備忘録です。最後に統計数理で現時点で選択非推奨な大問について意見を書いています。
問題は下記のテキストをご覧ください！
ポチップ
問１：クラメール・ラオの下限
Xが従う分布をきちんと把握して修正がないようにしましょう。また（１）で悩んで時間を浪費しないようにしましょう。
以下、Geminiの評価です。
難易度評価：【標準（Aランク・絶対に落とせない問題）】難易度レベル：5段階評価で 2.5〜3.0（標準）目標得点：20点〜25点 / 25点満点（本番でも完答が狙える問題）計算のステップ数は多いものの、用いられている手法（対数尤度の微分、モーメント母関数を用いた期待値・分散の導出、2階微分によるフィッシャー情報量）はすべて統計数理の「超・基本型」です。変則的なひねりが一切ない素直な問題と言えます。統計数理（90分で2問選択）では、毎年1〜2問ほど標準的な計算・証明問題が出題されます。2016年の問1は、まさに「時間内に確実に満点を確保して後半の問題へ弾みをつけるためのボーナス問題」という立ち位置です。本番の試験開始直後にこのレベルの問題を見つけたら、真っ先に飛びついて20分以内に満点を確保するのが合格者の鉄板パターンです。
問２：ガンマ分布と上側確率
わからなくなったら積分範囲を全範囲になるように置換することを考えます。
Geminiの分析です。
【難易度：やや難（B＋ランク）】難易度レベル：5段階評価で 3.5（標準〜やや難）目標得点：70点〜85点 / 100点満点「平行移動してガンマ積分へ帰着させる」という手口をストックできたのは、本番に向けた非常に大きな収穫です。自信を持って次の大問へ挑みましょう！
問３：線形回帰分析とコーシー・シュワルツの不等式
Geminiの分析です。
難易度評価：【標準（Aランク・満点を狙いたい問題）】難易度レベル：5段階評価で 2.5（標準）目標得点：85点〜100点 / 100点満点で、回帰分析・線形モデルにおける超・基本問題です。計算量も少なく、解法パターンが完全に定型化されているため、統計数理の中でも最も得点しやすい大問の部類に入ります。問1（確率分布の計算）や問3（線形モデル）のように、概念上のトラップが少なく計算の手間もかからない問題は、20分以内に80点〜満点を確保する「ボーナス問題」です。分散の比較で「ガウス・マルコフの定理（BLUE）」に言及して部分点を拾う立ち回りも優秀ですが、コーシー・シュワルツの不等式で数式で示し切る「定番の手口」をストックしておくことで、本番での完答率が100%に上がります。
問４：一様乱数
間違えの原因は標準化するときに標準偏差ではなく分散で割ってしまったことです。気をつけます。
Geminiの評価です。
難易度レベル：5段階評価で 3.5（やや難 / B＋ランク）目標得点：70点〜85点 / 100点満点で、模範解答は受検者が手計算で手軽に追えるよう途中で数値を大きく丸めていますが、実務や研究で Monte Carlo 法のサンプルサイズを設計する際、あなたの答案のように精密な評価を行うことこそが求められます。
問５：MCARの検定
Geminiの分析です。
難易度：標準（A〜Bランク）目標点：70点〜80点です。〔1〕の手際が見事だっただけに、前半の証明を完走できれば一気に高得点へ跳ね上がる問題でした。今回の失点ポイントを整理して、知識を蓄積していきましょう！本問は、一見複雑に見える欠測検定統計量 d^2 が、実は「最も基本的な2標本 t 検定を分散分析（F）の形に書き直しただけのものである」という統計理論上の美しさ・同値性を見抜けているかを問う良問です。
ポチップ
